Reprezentacije kompaktnih grupa i primjena u fizici

Jandrić, Berislav (2009) Reprezentacije kompaktnih grupa i primjena u fizici. Diploma thesis, Faculty of Science > Department of Physics.

[img] PDF
Restricted to Registered users only
Language: Croatian

Download (966kB)

Abstract

Teorija reprezentacija grana je matematike koja se teško može zaobići, kako u teorijskoj fizici, tako i u matematici. To je jedno od rijetkih područja matematike u kojem se na tako suptilan način međusobno nadopunjuju te isprepliću različite, s jedne strane, fundamentalne matematičke discipline, poput algebre, kombinatorike, diferencijalne geometrije, opće i algebarske toplogije, matematičke analize, a s druge primjenjene discipline, od kojih je, vjerojatno, najveća teorijska fizika. U ovoj radnji razvijen je samo malen dio te teorije, tj. slučaj kompaktnih Liejevih grupa. Osim primjene u fizici, leit-motiv cijele radnje je ideja da je struktura kompaktnih Liejevih grupa nerazrješivo povezana s njihovim reprezentacijama, tj. nije moguće poznavanje samo jedne od tih dviju stvari. U prvom poglavlju, koje je obrađeno prema knjizi Barry Simona, dao sam pregled osnovnih pojmova o diferencijalnim mnogostrukostima i Liejevim grupama, u koje one i spadaju. Pod to prirodno spadaju i Liejeve algebre, čiju sam važnost i vezu s Liejevim grupama detaljno obradio. Također sam dokazao teorem o egzistenciji lijevo-invarijantne normirane mjere na kompaktnoj Liejevoj grupi, koji je od ključne važnosti za ostatak cijele radnje. Odabrao sam dokaz koji se bazira na konstrukciji lijevo-invarijantne diferencijaine n-forme na proizvoljnoj Liejevoj, pa tako i kompaktnoj Liejevoj grupi, da bih odmah naglasio analogiju s lijevo-invarijantnim vektorskim poljima, tj. Liejevim algebrama. Alternativan dokaz, u kojem se prvo konstruira invarijantan funkcional na prostoru neprekidnih funkcija definiranih na kompaktnoj grupi G, koji je, prema Rieszovom teoremu o reprezentaciji lineranog funkcionala, jednoznačno pridružen nekoj lijevo-invarijantnoj mjeri na kompaktnoj grupi može se naći [7]. U drugom poglavlju definirao sam osnovne pojmove teorije reprezentacija, te dokazao dva vrlo važna teorema: prvi, o ekvivalentnosti proizvoljne reprezentacije kompaktne grupe unitarnoj reprezentaciji, te drugi, o potpunoj reducibilnosti reprezentacija kompaktnih grupa. Također sam dao dokaz Peter- Weylovog teorema, osnove za analizu na kompaktnim grupama, iako dva bitna teorema o kompkatnim operatorima koji se koriste u dokazu tog teorema, radi ostajanja u okviru radnje, nisam dokazivao. Gradivo izloženo u drugom poglavlju može se naći u skoro svakom opširnijem udžbeniku iz analize. Treće poglavlje bavi se strukturnom teorijom poluprostih kompaktnih Liejevih grupa, koja će biti od izuzetne važnosti u četvrtom poglavlju. Glavni teorem trećeg poglavlja je teorem 3.1.1, da je cijela poluprosta kompaktna Liejeva grupa unija maksimalnih torusa. Dokaz ovog teorema, koji sam također proveo prema dokazu Barry Simona, oslanja se na teorem iz prethodnog poglavlja o ekvivalentnosti svake reprezentacije kompkatne grupe unitarnoj reprezentaciji. Iako postoje dokazi koji to ne koriste, ovaj dokaz je vrlo elegantan i prirodno povezuje strukturnu teoriju s teorijom reprezentacija. Nadalje, u ovom poglavlju sam, između ostalog, dotaknuo problem klasifikacije poluprostih Liejevih algebri. Samim reprezentacijama kompaktnih grupa konačno se bavi četvrto poglavlje, koje je također obrađeno prema [8]. Osnovni teorem ovog poglavlja je teorem o klasifikaciji ireducibilnih reprezentacija prostih kompaktnih Liejevih grupa .. Dokaz ovog teorema baziran je na rezultatima iz cijelog prethodnog poglavlja, čime opet izlazi na vidjelo simbioza reprezentacija sa strukturom kompaktnih grupa. Također sam, radi potrebe, u ovom poglavlju samo dotaknuo teoriju homotopija i fundamentalnih grupa te se, u svrhu dokazivanja teorema o fundamentalnim grupama klasičnih grupa, poslužio vrlo teškom 'artiljerijom' iz algebarske toplogije - o egzaktnosti homološkog niza fibracija. Konačno, zadnje, tj. peto poglavlje bavi se primjenom teorije reprezentacija u fizici. Preciznije, svi apstraktno definirani pojmovi i dobiveni rezultati iz ostatka radnje primjenjeni su na grupu SU(3), koja je od izuzetne važnosti u fizici elementarnih čestica. Obradio sam problem klasifikacije hadrona te dao preciznu matematičku formulaciju teorije jakog međudjelovanja, tj. kvantne kromodinamike. Svi rezultati mogu se naći u svim modernijim udžbenicima fizike elementarnih čestica.

Item Type: Thesis (Diploma thesis)
Keywords: Liejeve grupe i algebre, diferencijalne mnogostrukosti, kompaktne grupe, poluproste kompaktne grupe
Supervisor: Primc, Mirko
Date: 18 December 2009
Number of Pages: 103
Subjects: NATURAL SCIENCES > Physics
Divisions: Faculty of Science > Department of Physics
Depositing User: Gordana Stubičan Ladešić
Date Deposited: 26 Dec 2013 21:37
Last Modified: 20 Oct 2015 12:09
URI: http://digre.pmf.unizg.hr/id/eprint/62

Actions (login required)

View Item View Item

Nema podataka za dohvacanje citata